量化优化的基础：目标函数、真假改进与风险平价

第一篇把”钱从哪来”拆成了三层结构，第二篇把”钱怎么留下”焊成了七环节的流水线。但写完跑回测时，手里还攥着一根没拔的刺：每一次优化，到底该盯哪个数字？ 回测表上年化、夏普、回撤、卡玛一排指标，单策略迭代时按谁排序？上线时在几个候选组合之间又按谁拍板？这篇把标尺立起来：从一个公式出发，解释年化里藏着的税、真改进与假改进的区别、风险平价在整套体系里的位置，最后用这套标尺给我自己的两个组合打分。

收益率是结果，夏普率是资产，回撤是租金。你真正拥有的，只有夏普率。

一、目标函数：一个公式说清所有指标的底层

所有优化最终只服务一个目标：长期复合增长率 g 的最大化，约束条件是”任何一年都不死”。

g 有一个近似公式，是整栋大楼的地基：

\[g \approx \mu - \frac{\sigma^2}{2}\]

• \(\mu\)：算术平均收益（进水口）
• \(\sigma\)：波动（漏水孔，而且是平方惩罚——波动翻倍，拖累翻四倍）

先看连乘和连加的差别。两个月收益 +20%、-20%：算术平均是 0%，实际净值 1.2 × 0.8 = 0.96，磨掉了 4%。那 4% 没有人扣，是乘法自己扣的——涨 20% 的基数大，跌 20% 的基数小，同样的百分比永远不对等。把全年逐月连乘，这种”涨跌幅不对等”的磨损累积起来，期望值就是 σ²/2。

数学上只需要一步：

\[\ln(1+r) \approx r - \frac{r^2}{2}\]

连乘取对数变连加：左边是累计对数增长，右边第一项是算术均值，第二项就是波动税。σ²/2 是泰勒展开的二阶项——它不是被”执行”的，是复利结构里自动浮现的。

这个公式解释了为什么所有指标的优先级长这样：收益 μ 在分子，波动 σ 在分母，而 Sharpe = μ/σ 刚好站在两者的比值上，所以它是 g 最好用的代理指标。用开车打比方：所有司机都在踩油门（μ），但赛车手的第一课是刹车（σ）——目标不是某一圈最快，是完赛的前提下总时间最短，冲出赛道一次，前面所有快圈清零。

二、年化 23.76% 已经扣过税了：CAGR 就是 g

一个容易困惑的点：回测软件输出的”年化 23.76%”，公式只是”期末净值开 n 次方根”，没看到哪里减了 σ²/2 啊？

答案：这个”税”不在代码里，在上面的乘法结构里。回测输出的年化是几何年化（CAGR），它就是 g 本身——σ²/2 在逐月连乘时已经被收走了，只是没收据。所以：

• M4 的 g = 23.76%（波动约 24%）
• 三腿等风险×1.33 的 g = 16.21%（波动约 11.7%）

单纯比 g，M4 赢。这个直觉没错——但别急，第四节会说为什么这个比法不公平。

σ²/2 公式还有两个正当用途。其一，解释为什么”月度收益简单平均×12”（算术 μ）总比 CAGR 高出一截，差值约等于 σ²/2——所以看策略要盯 CAGR，别盯算术均值。其二，它是仓位理论的发动机，第四节会用到。

想亲手验证的话，拿任意一条回测净值序列算三个数：算术年化（月均值×12）、CAGR（连乘开方）、年化波动（月标准差×√12）²÷2。你会看到第一个数减第二个数 ≈ 第三个数。跑完这一遍，g、CAGR、σ²/2、夏普这四个概念就焊在一起了。

三、真假改进：优化阶段盯夏普，不盯收益

既然 CAGR 就是 g，那优化目标是不是”把年化做高，上线时再把风险打平”？顺序反了。 因为高年化有两种，只有一种值得上线：

改进类型	长什么样	打平风险之后
真改进（夏普升）	收益涨得比波动快	g 变高
假改进（夏普不变）	收益和波动一起涨，只是更猛	g 不变甚至变低

年化 23.76% 这个数字本身不告诉你它是哪种。如果优化阶段只追收益，可能花了半年把夏普从 0.98”优化”到 0.98（只是波动变大了），上线打平风险那一刻才发现 g 反而缩水——低夏普的高收益，是借波动堆出来的假钞，兑现时要还。

我自己的实验史，三个案例正好排成一列：

• M1 纯模型选股：OOS RankIC 更高、毛收益更高，按”优化收益”的标准它是赢家；但换手 79%，一年费用吃掉约 4.55pp，净指标全输。假改进。
• M4 排雷（规则选 Top40 → 模型剔除最差 14 只 → 留 30 只）：年化 22.76%→23.76%，Sharpe 0.94→0.98，回撤 -37.5%→-37.2%，Calmar 0.50→0.61——收益、风险、效率一起动，四项全优。真改进。
• 过度集中（保留缩到 18 只以下）：收益继续微涨，但波动上升、最大回撤恶化到 -43.9%~-48%——按收益标准还在进步，按夏普标准已经在倒退。假改进，而且危险。

所以流程只有一句话：优化阶段每动一刀，都问”夏普动了没有”；只有夏普动了的改进才配进候选池，风险打平只是上线前给候选排队用的最终裁判。

四、公平比较的前提：同一风险预算

第三节留下的问题：既然 M4 的 g（23.76%）比三腿（16.21%）高，为什么上线还选三腿？因为g 必须在”同一张风险预算”下比。

波动才是真正的稀缺资源：你的心态按波动计价，杠杆空间按波动计价，家庭财务安全线按回撤计价。M4 和三腿占用的是不同大小的风险额度，直接比 g，就像拿超载卡车和面包车比”谁一次运得多”，而你只有一座限重桥。

把两边调到同样的 11.7% 波动（三腿×1.33 当前的水平）：

调法	算法	g
M4 缩仓至 48% 仓位，52% 现金货基	0.48×23.76% + 0.52×2%	≈12.5%
三腿×1.33 不动	原样	16.21%

反方向，调到 M4 的 24% 波动：三腿加约 2 倍杠杆，毛收益 33% 减利息约 6%，净 g ≈ 27%，对 M4 裸奔的 23.76%。两个方向都是三腿赢——这就是”夏普是单位风险的价格”的算术版：0.98 对 1.38，你的风险预算该配给谁，一目了然。

这套数学还有一根总发条。把 g 公式对注码 f 求导：

\[g(f) \approx f\mu - \frac{f^2\sigma^2}{2} \Rightarrow f^* = \frac{\mu}{\sigma^2}\]

最大化长期增长率的注码，正比于收益、反比于波动平方——全凯利掉出来了。全凯利是数学上限不是推荐值（参数估错一点就进爆仓区，路径回撤也没人拿得住），实务惯例是 1/4~1/2 凯利。《财富公式》整本书讲的其实就是 g：长期增长率最优的注码，和”你拿得住的注码”之间，必须留折扣。 g 公式、波动税、半凯利、夏普优先，是同一个公式族的四种说法。

五、风险平价：把风险预算分给最能装的腿

有了”波动是稀缺资源、夏普是价格”这两块积木，风险平价就不再是一个孤立技巧，而是它们的直接推论。

为什么按风险配权，不按钱配权？ 因为亏损是按风险敞口发生的，不是按钱发生的。60/40 组合跌 20% 的那天，不是”60% 的钱在挨打”，是约 90% 的风险敞口在挨打。用数字看：股票波动 24%、债券 8%，60/40 出钱的风险贡献是 0.6×24 : 0.4×8 = 82 : 18——名义分散，实际上命运的八成押在股票一张牌上。钱只是入场券，风险才是赌桌上的座位数；所以配权该按”让每个资产坐多少座位”分，不是按”给谁买了多少入场券”分。

本质一句话：承认”我不知道未来谁赢”，但”我不允许任何一类资产的坏运气单杀我”。 配平的手段只有两个：低波的加杠杆，或高波的降仓。桥水选加杠杆，因为砍高波资产 = 总风险砍小、收益也砍小；给低波资产加杠杆 = 总风险不变、收益装得更满——同样的风险预算，后者期望收益更高，这就是”更陡的有效前沿”的全部含义。它不需要预测能力，只需要”股票波动大于债券”这个几百年不变的排序——这比任何收益预测都可靠。

好处三条：单一资产最多贡献 1/N 的波动，分散真正生效；低波腿的赚钱能力不再浪费；总风险变成各腿之和，拧得准——60/40 的真实风险由股票说了算，你以为的中等风险实际是重仓股票。

我自己的实验两次撞上这个数学。M4（波动约 24%）配 TREND（波动约 12%），风险贡献相等的解是 w×24 = (1−w)×12，w = 1/3——回测扫出的最优档 30/70（Sharpe 1.29）正是它。三腿组合里，按钱配权 40/40/20 得到 16.74%/Sharpe 1.26/回撤 -17.6%，改成等风险配权 15/67/18 得到 12.10%/Sharpe 1.37/回撤 -11.6%，同样的腿，只是换了分法。代价也诚实写上：要借得起便宜的钱、扛得住危机时的流动性抽贷——桥水的融资成本是国债回购利率，个人两融是 6-8% 还带强平线，危机时你最需要杠杆活着的那天，恰好是它被抽走的那天。个人借不到，就退化成已经做了的版本：低波腿多配钱，吃到一半红利。

六、上线决策：用这套标尺打分

把前面所有积木拼起来，决策顺序是固定四步：

1. 先画生死线：这个策略最坏回撤多少？上不上杠杆、杠杆能扛多深而不被强平？
2. 再比夏普率：在活着的候选里，谁的单位风险装载效率高。
3. 然后过真实关：样本外衰减、参数敏感度、扣完成本，虚高一律打折。
4. 最后才轮到收益：不加追求，用风险预算调——加低相关腿、按风险配权、把夏普最高的组合的风险预算顶回目标水平。

用这套标尺给我的两个组合打分，答案为什么是三腿而不是 M4：

• 生死线：M4 回撤 -37.2%，需要 +59% 才回本，深坑中心态变形的概率不为零；三腿 -15.2%。
• 夏普：0.98 对 1.38，同预算下 g 的差距是每年 3-4 个点。
• 真实关：M4 的 23.76% 还没跑 FF5+动量归因，2019-2026 恰好是微盘风格最强的七年，风格顺风占多少是未知数；三腿分散三类资产，g 的期望稳定性更高。
• 收益调配：三腿还有”风险预算上调、乃至温和杠杆”的后手；M4 的深回撤把杠杆后门焊死了。

M4 什么时候才轮到？条件苛刻但明确：纯闲钱、十年不动、永不上杠杆、且已经用真金白银扛过一次 -30% 回撤证明拿得住。四条缺一条，23.76% 就只是回测里的数字。

七、结语

浓缩成三句话：

1. 目标是 g，不是年化：g ≈ μ − σ²/2 一个公式解释了为什么波动是平方惩罚、为什么夏普是核心货币、为什么半凯利要打折扣——它们是同一个公式族。
2. 优化盯夏普，上线比同风险预算下的 g：夏普升一刀才是真改进；风险预算相等时，装载效率高的组合自然胜出，收益到时候调出来。
3. 风险平价不是技巧，是推论：当”波动是稀缺资源”和”夏普是价格”成立，按风险配权就是唯一合理分法——先有了尺子，才谈得上度量。

赛车手的第一课不是踩油门，是刹车。把目标函数从”赚得多”换成”活得久的前提下复利得快”，仪表盘上所有的数字会自己排好队。

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免责声明：本文为个人量化研究与学习记录，所引数据均来自个人回测，存在过拟合风险且未经实盘验证，不构成任何投资建议。市场有风险，投资需谨慎。